Q3 Matemática  (IMC 2009)

Em uma cidade, cada dois moradores que não são amigos têm um amigo em comum, e ninguém é amigo de todo mundo. Vamos numerar os moradores de $1$ a $n$ e seja $a_i$ o número de amigos do morador $i^{\text{th}}$. Suponha que $$\sum _{i=1}^n{a}_i^2=n^2-n$$ Seja $k$ o menor número de residentes (pelo menos três) que podem se sentar em uma mesa redonda em de tal forma que quaisquer dois vizinhos são amigos. Determine todos os valores possíveis de $k.$