Q12 Matemática  (IMC 2008)

Seja $\mathcal{H}$ um espaço de Hilbert de dimensão infinita, seja $d>0$, e suponha que $S$ seja um conjunto de pontos (não necessariamente contáveis) em $\mathcal{H}$ tal que o distância entre quaisquer dois pontos distintos em $S$ é igual a $d$. Mostre que existe um ponto $y\in \mathcal{H}$ tal que $$\left\{\frac{\sqrt{2}}{d}(xy):x\in S\right\}$$ é um sistema ortonormal de vetores em $\mathcal{H}$.