Q8 Matemática (IMC 2001)

08 | IMC | 2001 | Matemática

Seja $a_{0} = 2, b_{0} = 2, a_{n + 1} = 2 - 4 - a_{n}^{2}, b_{n + 1} = \frac{2 b _{n}}{2 + 4 + b _{n}^{2}}$ . a) Prove que as sequências $(a_{n})$ e $(b_{n})$ são decrescentes e convergem para $0$ . b) Prove que a sequência $(2^{n} a_{n})$ é crescente, a sequência $(2^{n} b_{n})$ é decrescente e ambas convergem para o mesmo limite. c) Prove que existe uma constante positiva $C$ tal que para todo $n$ vale a seguinte desigualdade: $0 < b_{n} - a_{n} < \frac{C}{8 ^{n}}$ .