Q6 Matemática  (IMC 2001)

Suponha que as funções diferenciáveis $a,b,f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfazem $$f(x)\ge 0,f^{\prime }(x)\ge 0,g(x))\ge 0,g^{\prime }(x)\ge 0\text{ para todos }x\in \mathbb{R},$$$$\underset{x\to \infty }{\lim }a(x)=A\ge 0,\underset{x\to \infty }{\lim }b(x)=B\ge 0,\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=\infty ,$$e $$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}+a(x)\frac{f(x)}{g(x)}=b(x).$$Prove que ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{B}{A+1}$.