Q8 Matemática (IMC 2000)

08 | IMC | 2000 | Matemática

Seja $f : R \to] 0, + \infty [$ uma função diferenciável crescente com $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ e $f^{'}$ é limitada e seja $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ . Defina a sequência $(a_{n})$ recursivamente por $a_{0} = 1, a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{f ( a _{n} )}$ Defina a sequência $(b_{n})$ por $b_{n} = F^{- 1} (n)$ . Prove que $lim_{x \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = 0$ .