Q12 Matemática (IMC 1998)

12 | IMC | 1998 | Matemática

$f : (0, 1) \to [0, \infty)$ é zero, exceto em um conjunto contável de pontos $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ...$ . Seja $b_{n} = f (a_{n})$ . Mostre que se $\sum b_{n}$ converge, então $f$ é diferenciável em pelo menos um ponto. Mostre que para qualquer sequência $b_{n}$ de reais não negativos com $\sum b_{n} = \infty$ , podemos encontrar uma sequência $a_{n}$ tal que a função $f$ definida como acima não é diferenciável em nenhum lugar.