Q10 Matemática  (IMC 1997)

(a) Seja $f:{\mathbb{R}}^{n\times n}\to \mathbb{R}$ um mapeamento linear. Prove que $\exists !C\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ tal que $f(A)=Tr(AC),\forall A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$. (b) Suponha adicionalmente que $\forall A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}:f(AB)=f(BA)$. Prove que $\exists \lambda \in \mathbb{R}:f(A)=\lambda Tr(A)$