Q4 Matemática  (IMC 1997)

Seja $\alpha$ um número real, $1<\alpha <2$. (a) Mostre que $\alpha$ pode ser representado exclusivamente como o produto infinito $$\alpha =\left(1+\frac{1}{n_1}\right)\left(1+\frac{1}{n_2}\right)\cdots$$ com $n_i$ inteiros positivos satisfazendo $n_i^2\le n_{i+1}$. (b) Mostre que $\alpha \in \mathbb{Q}$ se a partir de $k$ temos $n_{k+1}=n_k^2$.