Q12 Matemática  (IMC 1996)

i) Prove que para toda sequência $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, tal que $a_n>0$ para todo $n\in \mathbb{N}$ e ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n<\infty$, temos $$\sum _{n=1}^{\infty }(a_1{a}_2\cdots a_n{)}^{\frac{1}{n}}<e\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$ii) Prove que para cada $ϵ>0$ existe uma sequência $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ tal que $b_n>0$ para todos $n\in \mathbb{N}$ e ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n<\infty$ e $$\sum _{n=1}^{\infty }(b_1{b}_2\cdots b_n{)}^{\frac{1}{n}}>(e-ϵ)\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n.$$