Q11 Matemática  (IMC 1996)

i) Prove que $$\underset{x\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{nx}{(n^2+x{)}^2}=\frac{1}{2}$$. ii) Prove que existe uma constante positiva $c$ tal que para cada $x\in [1,\infty )$ temos $$\left|\sum _{n=1}^{\infty }\frac{nx}{(n^2+x{)}^2}-\frac{1}{2}\right|\le \frac{c}{x}$$