Q6 Matemática  (IMC 1996)

conteúdo superior de um subconjunto $E$ do plano ${\mathbb{R}}^2$ é definido como $$\mathcal{C}(E)=\inf \{\sum _{i=1}^n\text{diam}(E_i)\}$$onde $\inf$ é tomado sobre todas as famílias finitas de conjuntos $E_1,\dots ,E_n$ $n\in \mathbb{N}$, em ${\mathbb{R}}^2$ tal que $E\subset {\bigcup }_{i=1}^n{E}_i$. O conteúdo inferior de $E$ é definido como $$\mathcal{K}(E)=\sup \{\text{length}(L)|L\text{ eˊ um segmento de linha fechado no qual E pode ser contratado}\}$$. Prove que i) $\mathcal{C}(L)=\text{length}(L)$ se $L$ for um segmento de linha fechado; ii) $\mathcal{C}(E)\ge \mathcal{K}(E)$; iii) a igualdade em ii) nem sempre é verdadeira mesmo que $E$ seja compacto.