Q5 Matemática  (IMC 1996)

i) Sejam $a,b$ números reais tais que $b\le 0$ e $1+ax+b{x}^2\ge 0$ para cada $x\in [0,1]$. Prove que $$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^1(1+ax+b{x}^2{)}^{n}dx=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{a}& \text{if}a<0,\\ \infty & \text{if}a\ge 0.\end{array}$$ii) Seja $f:[0,1]\to [0,\infty )$ uma função com uma segunda derivada contínua e seja $f^{\prime \prime }(x)leq0$ para cada $x\in [0,1]$. Suponha que $L={\lim }_{n\to \infty }n{\int }_0^1(f(x){)}^{n}dx$ exista e $0<L<\infty$. Prove que $f^{\prime }$ tem um sinal constante e ${\min }_{x\in [0,1]}|f^{\prime }(x)|=L^{-1}$.