Q6 Matemática (IMC 1994)

06 | IMC | 1994 | Matemática

Seja $f \in C^{2} [0, N]$ e $∣ f^{'} (x) ∣ < 1$ , $f^{''} (x) > 0$ para cada $x \in [0, N]$ . Sejam $0 \leq m_{0} < m_{1} < \dots < m_{k} \leq N$ inteiros tais que $n_{i} = f (m_{i})$ também sejam inteiros para $i = 0, 1, \dots, k$ . Denote $b_{i} = n_{i} - n_{i - 1}$ e $a_{i} = m_{i} - m_{i - 1}$ para $i = 1, 2, \dots, k$ . a) Prove que $- 1 < \frac{b _{1}}{a _{1}} < \frac{b _{2}}{a _{2}} < \dots < \frac{b _{k}}{a _{k}} < 1$ b) Prove que para cada escolha de $A > 1$ não existem mais do que $N / A$ índices $j$ tais que $a_{j} > A$ . c) Prove que $k \leq 3 N^{2/3}$ (ou seja, não há mais de $3 N^{2/3}$ pontos inteiros na curva $y = f (x)$ , $x \in [0, N]$ ).