Q3 Matemática  (IberoAmerican 2021)

Seja $a_1,a_2,a_3,\dots$ uma sequência de inteiros positivos e seja $b_1,b_2,b_3,\dots$ a sequência de números reais dada por $$b_n=\frac{a_1{a}_2\cdots a_n}{a_1+a_2+\cdots +a_n},\text{mbox}forn\ge 1$$Mostra que, se existe pelo menos um termo entre cada milhão de termos consecutivos da sequência $b_1,b_2,b_3,\dots$ que é um número inteiro, então existe algum $k$ tal que $b_k>2021^{2021}$.