Q1 Matemática  (IberoAmerican 2021)

Seja $P=\{p_1,p_2,\dots ,p_{10}\}$ um conjunto de $10$ diferentes números primos e seja $A$ o conjunto de todos os inteiros maiores que $1$ de modo que sua decomposição em primos contém apenas primos de $P$. Os elementos de $A$ são coloridos de tal forma que: cada elemento de $P$ tem uma cor diferente, se $m,n\in A$, então $mn$ é da mesma cor de $m$ ou $n$, para qualquer par de cores diferentes $\mathcal{R}$ e $\mathcal{S}$, não existem $j,k,m,n\in A$ (não necessariamente distintos um do outro), com $j,k$ colorido $\mathcal{R}$ e $m,n$ colorido $\mathcal{S}$, de modo que $j$ é um divisor de $m$ e $n$ é um divisor de $k$ , simultaneamente. Prove que existe um primo de $P$ de modo que todos os seus múltiplos em $A$ são da mesma cor.