Q3 Matemática  (IberoAmerican 2020)

Seja $n\ge 2$ um inteiro. Uma sequência $\alpha =(a_1,a_2,...,a_n)$ de $n$ inteiros é chamada de Lima se $\gcd \{a_i-a_j\text{ tal que }{a}_i>a_j\text{ e }1\le i,j\le n\}=1$, isto é, se o máximo divisor comum de todas as diferenças $a_i-a_j$ com $a_i>a_j$ for $1$. Uma operação consiste em escolher dois elementos $a_k$ e $a_{\ell }$ de uma sequência, com $k\ne \ell$ , e substituir $a_{\ell }$ por $a_{\ell }^{\prime }=2a_k-a_{\ell }$ . Mostre que, dada uma coleção de $2^n-1$ sequências Lima, cada uma formada por $n$ inteiros, existem duas delas, digamos $\beta$ e $\gamma$, tais que é possível transformar $\beta$ em $\gamma$ por meio de um número finito de operações. Notas. As sequências $(1,2,2,7)$ e $(2,7,2,1)$ têm os mesmos elementos, mas são diferentes. Se todos os elementos de uma sequência são iguais, então essa sequência não é Lima.