Q3 Matemática  (IberoAmerican 2015)

Sejam $\alpha$ e $\beta$ as raízes de $x^2-qx+1$, onde $q$ é um número racional maior que $2$. Seja $s_1=\alpha +\beta$, $t_1=1$, e para todos os inteiros $n\ge 2$: $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ $t_n=s_{n-1}+2s_{n-2}+\cdot \cdot \cdot +(n-1)s_1+n$ Prove que, para todos os inteiros ímpares $n$, $t_n$ é o quadrado de um número racional.