Q5 Matemática  (IberoAmerican 2009)

Considere a sequência $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ definida da seguinte forma: $a_1=1$, $a_{2k}=1+a_k$ e $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$ para cada $k\ge 1$. Prove que todo número racional positivo aparece na sequência $\{a_n\}$ exatamente uma vez.