Q2 Matemática  (IberoAmerican 2007)

Seja $ABC$ um triângulo com incentro $I$ e seja $\Gamma$ um círculo centrado em $I$, cujo raio é maior que o raio e não passa por nenhum vértice. Seja $X_1$ o ponto de interseção de $\Gamma$ e a reta $AB$, mais próxima de $B$; $X_2$, $X_3$ os pontos de interseção de $\Gamma$ e a reta $BC$, com $X_2$ mais próximo de $B$; e seja $X_4$ o ponto de interseção de $\Gamma$ com a reta $CA$ mais próxima de $C$. Seja $K$ o ponto de interseção das linhas $X_1{X}_2$ e $X_3{X}_4$. Prove que $AK$ divide o segmento $X_2{X}_3$.