Q6 Matemática  (IberoAmerican 2004)

Dado um conjunto $\mathcal{H}$ de pontos no plano, $P$ é chamado de "ponto de interseção de $\mathcal{H}$" se existirem pontos distintos $A,B,C,D$ em $mathcalH$ tal que as linhas $AB$ e $CD$ são distintas e se cruzam em $P$. Dado um conjunto finito ${\mathcal{A}}_0$ de pontos no plano, uma sequência de conjuntos é definida da seguinte forma: para qualquer $j\ge 0$, ${\mathcal{A}}_{j+1}$ é a união de ${\mathcal{A}}_j$ e os pontos de interseção de ${\mathcal{A}}_j$. Prove que, se a união de todos os conjuntos na sequência for finita, então ${\mathcal{A}}_i={\mathcal{A}}_1$ para qualquer $i\ge 1$.