Q6 Matemática  (IberoAmerican 1999)

Seja $A$ e $B$ pontos no plano e $C$ um ponto na mediatriz de $AB$. É construída uma sequência de pontos $C_1,C_2,\dots ,C_n,\dots$ da seguinte forma: $C_1=C$ e para $n\ge 1$, se $C_n$ não pertence a $AB$, então $C_{n+1}$ é o circuncentro do triângulo $△AB{C}_n$. Encontre todos os pontos $C$ de modo que a sequência $C_1,C_2,\dots$ seja definida para todos os $n$ e torne-se eventualmente periódica. Nota: Uma sequência $C_1,C_2,\dots$ é chamada eventualmente periódica se existirem inteiros positivos $k$ e $p$ tais que $C_{n+p}=c_n$ para todo $n\ge k$ .