Q3 Matemática (IberoAmerican 1997)

03 | IberoAmerican | 1997 | Matemática

Seja $n \geq 2$ um número inteiro e $D_{n}$ o conjunto de todos os pontos $(x, y)$ no plano tal que suas coordenadas sejam números inteiros com: $- n \leq x \leq n$ e $- n \leq y \leq n$ . (a) Existem três cores possíveis nas quais os pontos de $D_{n}$ são pintados (cada ponto tem uma cor única). Mostre que em qualquer distribuição de cores, sempre há dois pontos de $D_{n}$ com a mesma cor, de modo que a linha que os contém não passa por nenhum outro ponto de $D_{n}$ . (b) Encontre uma maneira de pintar os pontos de $D_{n}$ com 4 cores, de modo que se uma linha contém exatamente dois pontos de $D_{n}$ , então esses pontos têm cores diferentes.