Q6 Matemática  (Hungary-Israel Binational 1993)

Nas questões abaixo: $G$ é um grupo finito; $H\le G$ um subgrupo de $G;|G:H|$ o índice de $H$ em $G;|X|$ o número de elementos de $X\subseteq G;Z(G)$ o centro de $G;G^{\prime }$ o subgrupo comutador de $G;N_G(H)$ o normalizador de $H$ em $G;C_G(H)$ o centralizador de $H$ em $G$; e $S_n$ o $n$-ésimo grupo simétrico. Suponha que $n\ge 1$ seja tal que o mapeamento $x\mapsto x^n$ de $G$ para si mesmo seja um isomorfismo. Prove que para cada $a\in G,a^{n-1}\in Z(G).$