Q5 Matemática  (Hungary-Israel Binational 1993)

Nas questões abaixo: $G$ é um grupo finito; $H\le G$ um subgrupo de $G;|G:H|$ o índice de $H$ em $G;|X|$ o número de elementos de $X\subseteq G;Z(G)$ o centro de $G;G^{\prime }$ o subgrupo comutador de $G;N_G(H)$ o normalizador de $H$ em $G;C_G(H)$ o centralizador de $H$ em $G$; e $S_n$ o $n$-ésimo grupo simétrico. Suponha que $k\ge 2$ seja um inteiro tal que para todo $x,y\in G$ e $i\in \{k-1,k,k+1\}$ a relação $(xy{)}^i=x^i{y}^i$ vale. Mostre que $G$ é abeliano.