Q6 Matemática  (Hungary-Israel Binational 1992)

Examinamos as duas sequências a seguir: A sequência de Fibonacci: $F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ for $n\ge 2$; A sequência de Lucas: $L_0=2,L_1=1,L_n=L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n\ge 2$. Sabe-se que para todo $n\ge 0$ $$F_n=\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\sqrt{5}},L_n=alph{a}^n+{\beta }^n,$$ onde $\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Estas fórmulas podem ser usadas sem prova. Prove que $$\sum _{k=1}^n[{\alpha }^k{F}_k+\frac{1}{2}]=F_{2n+1}\forall n>1.$$