Q3 Matemática  (Hungary-Israel Binational 1992)

Recebemos $100$ sequências estritamente crescentes de inteiros positivos: $A_i=(a_1^{(i)},a_2^{(i)},...),i=1,2,...,100$. Para $1\le r,s\le 100$ definimos as seguintes quantidades: $f_r(u)=$ o número de elementos de $A_r$ não excedendo $n$; $f_{r,s}(u)=$ o número de elementos de $A_r\cap A_s$ não excedendo $n$. Suponha que $f_r(n)\ge \frac{1}{2}n$ para todos os $r$ e $n$. Prove que existe um par de índices $(r,s)$ com $r\ne s$ tal que $f_{r,s}(n)\ge \frac{8n}{33}$ por pelo menos cinco distinto $ns$ com $1\le n<19920.$