Q4 Matemática  (Gulf Math Olympiad 2019)

Considere a sequência $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definida por $a_n=n$ para $n\in \{1,2,3.4,5,6\}$, e para $n\ge 7$ : $$a_n=\lfloor \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{2}\rfloor$$onde $\lfloor x\rfloor$ é o maior inteiro menor ou igual a $x$. Por exemplo: $\lfloor 2.4\rfloor =2,\lfloor 3\rfloor =3$ e $\lfloor \pi \rfloor =3$. Para todos os inteiros $n\ge 2$, seja $S_n=\{a_1,a_1,...,a_n\}-\{r_n\}$ onde $r_n$ é o resto quando $a_1+a_2+...+a_n$ é dividido por $3$. O menos $-$ denota a notação ''remover se estiver lá''. Por exemplo: $S_4=2,3,4$ porque $r_4=1$ então $1$ é removido de $\{1,2,3,4\}$. No entanto $S_5=\{1,2,3,4,5\}$ betawe $r_5=0$ e $0$ não está no conjunto $\{1,2,3,4,5\}$. 1. Determine $S_7,S_8,S_9$ e $S_{10}$. 2. Dizemos que um conjunto $S_n$ para $n\ge 6$ é bem balanceado se puder ser particionado em três subconjuntos disjuntos aos pares com soma igual. Por exemplo: $S_6=\{1,2,3,4,5,6\}=\{1,6\}\cup \{2,5\}\cup \{3,4\}$ e $1+6=2+5=3+4$. Prove que $S_7,S_8,S_9$ e $S_{10}$ são bem equilibrados . 3. O conjunto $S_{2019}$ está bem equilibrado? Justifique sua resposta.