Q3 Matemática  (Gulf Math Olympiad 2019)

Considere o conjunto $S=\{1,2,3,...,1441\}$. 1. Nora conta esses subconjuntos de $S$ com exatamente dois elementos, cuja soma é par. Rania conta esses subconjuntos de $S$ com exatamente dois elementos, cuja soma é ímpar. Determine os números contados por Nora e Rania. 2. Seja $t$ o número de subconjuntos de $S$ que possuem pelo menos dois elementos e o produto dos elementos é par. Determine a maior potência de $2$ que divide $t$. 3. Ahmad conta os subconjuntos de $S$ com elementos de $77$ de modo que em cada subconjunto a soma dos elementos seja par. Bushra conta os subconjuntos de $S$ com elementos de $77$ de forma que em cada subconjunto a soma dos elementos seja ímpar. De quem é o número maior? Determine a diferença entre os números encontrados por Ahmad e Bushra.