Q3 Matemática  (Gulf Math Olympiad 2017)

Sejam $C_1$ e $C_2$ dois círculos diferentes e seus raios $r_1$ e $r_2$ , os dois círculos passam pelos dois pontos $A$ e $B$ (i)Deixe $P_1$ em $C_1$ e $P_2$ em $C_2$ de modo que a linha $P_1{P}_2$ passe por $A$. Prove que $P_{1}B\cdot r_2=P_{2}B\cdot r_1$ (ii) Seja $DEF$ um triângulo inscrito em $C_1$ e seja $D^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ um triângulo inscrito em $C_2$ . As linhas $E{E}^{\prime }$,$D{D}^{\prime }$ e $F{F}^{\prime }$ passam por $A$ . Prove que os triângulos $DEF$ e $D^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ são semelhantes (iii)O círculo $C_3$ também passa por $A$ e $B$ . Seja $l$ uma linha que passa por $A$ e corta círculos $C_i$ em $M_i$ com $i=1,2,3$ . Prove que o valor de $$\frac{M_1{M}_2}{M_1{M}_3}$$é constante independente da posição de $l$ Desde que $l$ seja diferente de $AB$