Q2 Matemática (Gulf Math Olympiad 2017)

02 | Gulf Math Olympiad | 2017 | Matemática

Um país consiste nas ilhas $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ ,O ministério dos transportes decidiu construir algumas pontes de modo que qualquer pessoa possa viajar de carro de qualquer uma das ilhas $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{N}$ para qualquer outra ilha por uma ou mais dessas pontes. Por razões técnicas, as únicas pontes que podem ser construídas são entre $A_{i}$ e $A_{i + 1}$ onde $i = 1, 2, \dots, N - 1$ , e entre $A_{i}$ e $A_{N}$ onde $i < N$ . Dizemos que um plano para construir algumas pontes é bom se satisfizer as condições acima, mas quando removemos qualquer ponte, ela não satisfará essas condições. Assumimos que há $a_{N}$ de bons planos. Observe que $a_{1} = 1$ (O único bom plano é não construir nenhuma ponte) e $a_{2} = 1$ (Construímos uma ponte). 1-Prove que $a_{3} = 3$ 2-Desenhe pelo menos $5$ planos bons diferentes caso $N = 4$ e as ilhas sejam os vértices de um quadrado 3-Compute $a_{4}$ 4-Compute $a_{6}$ 5 -Prove que existe um inteiro positivo $i$ tal que $1438$ divide $a_{i}$