Q3 Matemática  (Gulf Math Olympiad 2016)

Considere o triângulo de ângulo agudo $ABC$. Seja $X$ um ponto do lado $BC$ e $Y$ um ponto do lado $CA$. O círculo $k_1$ com diâmetro $AX$ corta $AC$ novamente em $E^{\prime }$ .O círculo $k_2$ com diâmetro $BY$ corta $BC$ novamente em $B^{\prime }$. (i) Seja $M$ o ponto médio de $XY$ . Prove que $A^{\prime }M=B^{\prime }M$. (ii) Suponha que $k_1$ e $k_2$ se encontrem em $P$ e $Q$. Prove que o ortocentro de $ABC$ está na linha $PQ$.