Q1 Matemática (Gulf Math Olympiad 2016)

01 | Gulf Math Olympiad | 2016 | Matemática

Considere as sequências $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ de inteiros não negativos definidos selecionando qualquer $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ (nem todos 0) e para cada $n$ $\geq$ 3 deixando $a_{n}$ = | $a_{n} - 1$ - $a_{n} - 3$ | 1-No caso particular que $a_{0}$ = 1, $a_{1}$ = 3 e $a_{2}$ = 2, calcule o início da sequência, listando $a_{0}$ , $a_{1}$ , $\dots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$ . 2-Prove que para cada sequência existe uma constante $c$ tal que $a_{i}$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Observe que a constante $c$ my depende dos números $a_{0}$ , $a_{1}$ e $a_{2}$ 3-Prove que, para cada escolha de $a_{0}$ , $a_{1}$ e $a_{2}$ , a sequência resultante é eventualmente periódica. 4-Prove que o comprimento mínimo p do período descrito em (3) é o mesmo para todos os valores iniciais permitidos $a_{0}$ , $a_{1}$ , $a_{2}$ da sequência