Q1 Matemática  (Gulf Math Olympiad 2015)

a) Suponha que $n$ seja um inteiro ímpar. Prove que $k(nk)$ é divisível por $2$ para todos os inteiros positivos $k$. b) Encontre um inteiro $k$ tal que $k(100-k)$ não seja divisível por $11$. c) Suponha que $p$ seja um primo ímpar e $n$ um inteiro. Prove que existe um inteiro $k$ tal que $k(nk)$ não é divisível por $p$. d) Suponha que $p,q$ sejam dois primos ímpares diferentes, e $n$ seja um inteiro. Prove que existe um inteiro $k$ tal que $k(nk)$ não é divisível por nenhum de $p,q$.