Q3 Matemática  (Gulf Math Olympiad 2014)

(i) $ABC$ é um triângulo com um ângulo reto em $A$, e $P$ é um ponto na hipotenusa $BC$. A linha $AP$ produzida além de $P$ encontra a linha por $B$ que é perpendicular a $BC$ em $U$. Prove que $BU=BA$ se, e somente se, $CP=CA$. (ii) $A$ é um ponto no semicírculo $CB$, e os pontos $X$ e $Y$ estão no segmento de reta $BC$. A linha $AX$, produzida além de $X$, encontra a linha por $B$ que é perpendicular a $BC$ em $U$. Também a linha $AY$, produzida além de $Y$, encontra a linha por $C$ que é perpendicular a $BC$ em $V$. Dado que $BY=BA$ e $CX=CA$, determine o ângulo $\angle VAU$.