Q2 Matemática  (Gulf Math Olympiad 2014)

Ahmad e Salem jogam o seguinte jogo. Ahmad escreve dois inteiros (não necessariamente diferentes) em um quadro. Salem escreve sua soma e produto. Ahmad faz a mesma coisa: escreve a soma e o produto dos dois números que Salem acabou de escrever. Eles continuam dessa maneira, não parando a menos que os dois jogadores escrevam os mesmos dois números um após o outro (pois então eles ficam presos!). A ordem dos dois números que cada jogador escreve não é importante. Assim, se Ahmad começa escrevendo $3$ e $-2$, os primeiros cinco movimentos (ou passos) são os seguintes: (a) Passo 1 (Ahmad) $3$ e $-2$ (b) Passo 2 (Salem) $1$ e $-6$ (c) Passo 3 (Ahmad) $-5$ e $-6$ (d) Passo 4 (Salem) $-11$ e $30$ (e) Passo 5 (Ahmad) $19$ e $-330$ (i) Descreva todos os pares de números que Ahmad poderia escrever e assegure-se de que Salem deve escrever os mesmos números, e assim o jogo termina no passo 2. (ii) Que par de inteiros Ahmad deveria escrever para que o jogo termine no passo 4? (iii) Descreva todos os pares de inteiros que Ahmad poderia escrever no passo 1, de modo que o jogo termine após um número finito de passos. (iv) Ahmad e Salem decidem mudar o jogo. O primeiro jogador escreve três números no tabuleiro, $u,v$ e $w$. O segundo jogador então escreve os três números $u+v+w,uv+vw+wu$ e $uvw$, e eles continuam como antes, revezando-se e usando esta nova regra que descreve como calcular os próximos três números. Se Ahmad for o primeiro, determine todas as coleções de três números que ele pode escrever, garantindo que Salem tenha que escrever os mesmos três números na próxima etapa.