Q1 Matemática  (Gulf Math Olympiad 2013)

Sejam $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ números reais positivos tais que $a_j{a}_{n+j}=1$ para os valores $j=1,2,\dots ,n$. uma. Prove que a média dos números $a_1,a_2,\dots ,a_n$ é pelo menos 1 ou a média dos números $a_{n+1},a_{n+2},\dots ,a_{2n}$ é pelo menos 1. b. Assumindo que $n\ge 2$, prove que existem dois números distintos $j,k$ no conjunto $\{1,2,\dots ,2n\}$ tais que $$|a_j-a_k|<\frac{1}{n-1}.$$