Dentre $4$ moças e $5$ rapazes deve-se formar uma comissão de $5$ pessoas com, pelo menos, $1$ moça e $1$ rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

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ITA IIIT 22/11/2021 19:02
$• \ \text{Solução I:}$ Note que, a única comissão que não podemos fazer são quando os $5$ rapazes participam. Dessa forma, ao calcular todas as maneiras que $9$ pessoas podem formar uma comissão, temos: $C_{9}^{5} = 126$ $comissões$ Agora, o número de comissões com ao menos um rapaz e uma moça é: $126-1 = 125 $ $comissões$ $• \ \text{Solução II:}$ Podemos dividir o problema em casos, por exemplo:\begin{matrix} 1 \ Rapaz \ e \ 4 \ Moças \ \ \ \ \rightarrow \ C_{5}^{1}.C_{4}^{4} = \ 5 \\ \\ 2 \ Rapazes \ e \ 3 \ Moças \ \rightarrow \ C_{5}^{2}.C_{4}^{3} = 40 \\ \\ 3 \ Rapazes \ e \ 2 \ Moças \ \rightarrow \ C_{5}^{3}.C_{4}^{2} = 60 \\ \\ 4 \ Rapaz es\ e \ 1 \ Moça \ \ \ \rightarrow \ C_{5}^{4}.C_{4}^{1} = 20 \\ \\ \end{matrix}Desse modo, o total de comissões será: \begin{matrix} 5+40+60+20 = 125 \ \text{comissões} \end{matrix}
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