Considere todos os números $z = x + i y$ que têm módulo $\sqrt7/ 2$ e estão na elipse $x^2 + 4y^2 = 4$ . Então, o produto deles é igual a


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ITA IIIT 05/04/2022 20:31
A priori, pelo módulo dos números complexos, temos: \begin{matrix}|z|^2 = x^2 + y^2 = {\dfrac{7}{4}} \end{matrix}Isolando $x^2$ e substituindo na equação da elipse, \begin{matrix} \left(\dfrac{7}{4} - y^2\right) + 4y^2 = 4 &\Rightarrow& y^2 = {\dfrac{3}{4} } &\Rightarrow& x^2 = 1 \end{matrix}A partir dos resultados acima, não é difícil encontrar todos os os números complexos que satisfazem a equação da cônica, denotemos eles, veja: \begin{matrix}z_1: \left(1, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) &,& z_2: \left(-1, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) &,& z_3: \left(1, -\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right) &,& z_4: \left(-1, - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{matrix} \begin{matrix} z_1\cdot z_4: \left( -\dfrac{1}{4}, -\sqrt{3}\right) &,& z_2\cdot z_3: \left( -\dfrac{1}{4}, \sqrt{3}\right) \end{matrix} \begin{matrix} (z_1\cdot z_4)(z_2\cdot z_3): \left(\dfrac{49}{16},0\right) \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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