Um sistema é composto por duas massas idênticas ligadas por uma mola de constante $k$, e repousa sobre uma superfície plana, lisa e horizontal. Uma das massas é então aproximada da outra, comprimindo $2{,}0\text{ cm}$ da mola. Uma vez liberado, o sistema inicia um movimento com o seu centro de massa deslocando com velocidade de $18{,}0\text{ cm/s}$ numa determinada direção. O período de oscilação de cada massa é


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Diego Admin 01/02/2022 23:31
Primeiramente, é importante entender o comportamento do fenômeno, dividindo-se o processo em três etapas: $\text{I)}$ "Uma das massas é então aproximada da outra": neste trecho, existe, em apenas uma das massas, um anteparo que impede sua movimentação em um dos sentidos (imagine uma parede, por exemplo) enquanto a outra massa é aproximada de tal anteparo, comprimindo-se assim a mola. Durante a compressão, a massa em contato com o anteparo sofre uma força normal do anteparo crescente até que se atinja a compressão da mola de $2\ cm$. Denotemos então a massa próxima ao anteparo de $1$, e a outra de $2$ $\text{II)}$ "Uma vez liberado": imediatamente após ser liberada, a mola empurra ambas as massas. A massa $1$ é empurrada contra a parede (a qual faz uma força normal para equilibrar a massa), com uma força elástica cada vez menor (e portanto a normal da parede também diminui), conforme a mola se descomprime. A massa $2$ é empurrada para longe da massa $1$ por uma força elástica cada vez menor e inicia seu movimento. Enquanto a massa $1$ está na parede, a massa $2$ realiza um trecho de MHS, tendo sua velocidade aumentada pelo sentido de empurrão da força elástica. Dessa forma, como a massa $1$ está parada, o centro de massa do sistema também aumenta sua velocidade, afastando-se da parede. $\text{III)}$ "o sistema inicia um movimento com o seu centro de massa deslocando com velocidade de $18{,}0\ cm/s$":esta situação só passa a ocorrer a partir do momento em que a mola atinge seu comprimento natural e, logo em seguida, minimamente distendida, passa a "puxar ambos os blocos". Com a mínima puxada, a massa $1$ se descola da parede e a massa $2$ começa a reduzir sua velocidade. A partir desse momento não existem mais forças externas ao sistema $massas+mola$ e portanto o centro de massa passa a se mover com velocidade constante de $18{,}0\ cm/s$ Tecnicamente, as massas $1$ e $2$ não realizam um MHS em $\text{III)}$, conforme dá a entender o enunciado, uma vez que se afastam indefinidamente do anteparo, já que o centro de massa tem velocidade constante. Todavia, no referencial do centro de massa, elas de fato realizam um MHS. Assim, o movimento delas nada mais é do que a composição de um MU + MHS. Assim, irei supor que a questão quer o período do movimento no C.M. C.M.: Neste referencial, as massas estão a mesma distância $x$ da origem (pois são massas idênticas) em sentidos opostos. Como a distensão ou compressão da mola leva em conta a totalidade de seu comprimento, a força elástica em uma das massas será $F_{el} = -k \cdot (2x - l_0)$, onde $x$ é a distância à origem. Ou seja, o "$K$" para uma das massas é na verdade $2k$ e portanto o período de uma das massas é $$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$$ Energia: Pela conservação da energia entre o momento de máxima compressão (início de $II)$) e velocidade limite atingida pelo C.M. (início momento $\text{III)}$), temos que $$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2}$$ onde $v_1$ é a velocidade atingida pela massa $2$ e $x = 2\ cm$. Como a massa $1$ está parada, temos que $$v_{cm} = \frac{m\cdot v_1 + m \cdot 0}{m + m} = \frac{v_1}{2}$$ mas $v_{cm} = 18 \ cm/s \Rightarrow v_1 = 36\ cm/s \Rightarrow \sqrt{\frac{k}{m}} = 18 \Rightarrow T \approx 0{,}25 \ s$ Logo não há gabarito correto. Acredita-se que a banca possa ter interpretado o período no caso que cada massa estaria isolada uma da outra, nesse caso $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ que fornece a $\text{Letra B}$, todavia acreditamos ser equivocado tal raciocínio. Observação: De fato, no C.M. as massas possuem SEMPRE velocidades iguais em módulo e sentidos opostos, uma vez que o C.M. não pode se deslocar em seu próprio referencial (lembre-se que as massas são iguais):$$0 = \frac{m\cdot v_1 + m\cdot v_2}{m +m} \Rightarrow v_1 = -v_2$$Da mesma forma, estão sempre equidistantes da origem, em sentidos opostos (basta trocar $v$ por $x$ na dedução acima). Por isso, a força elástica em cada uma das massas é da forma $F_{el} = -k \cdot (2x - l_0)$ que representa um MHS
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ITA IIIT
00:27 02/02/2022
Solução magistral, Diego! Muito obrigado, toda a análise da situação ficou incrível!
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