Seja $p(x)$ um polinômio de grau $4$ com coeficientes reais. Na divisão de $p(x)$ por $x - 2$ obtém-se um quociente $q(x)$ e resto igual a $26$. Na divisão de $p(x)$ por $x^2+x - 1$ obtém-se um quociente $h(x)$ e resto $8x - 5$. Sabe-se que $q(0) = 13$ e $q(1) = 26$. Então, $h(2) + h(3)$ é igual a:


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ITA IIIT 15/03/2022 17:42
$-$ Segundo enunciado, podemos escrever: \begin{matrix} (1): &&& p(x) &=& (x-2) &.& q(x) &+& 26 \\ \\ (2): &&& p(x) &=& (x^2 + x-1) &.& h(x) &+& (8x-5) \end{matrix} $-$ Veja que, na equação $(1)$, ao substituir o $x$ por $0$ , $1$ e $2$, temos, respectivamente: \begin{matrix} p(0) = 0 &,& p(1) = 0 &,& p(2) = 26 \end{matrix} $-$ Utilizando os dados acima em $(2)$, têm-se: \begin{matrix} h(0) = -5 &,& h(1) = -3 &,& \fbox{$h(2) = 3$} \end{matrix} $-$ Atente que, o polinômio $p(x)$ é de quarto grau com coeficientes reais, em $(2)$, ele está sendo dividido por um polinômio de segundo grau, o qual deixa um resto de primeiro grau. Sem dúvidas, constatamos $h(x)$ na forma: \begin{matrix} h(x) = ax^2 + bx + c \end{matrix} $-$ Agora, substituindo os resultados anteriores, formaremos um pequeno sistema, veja: \begin{matrix} h(0) = c = -5 &,& h(1) = a+b+c = -3 &,& h(2) = 4a +2b +c = 3 \end{matrix} Não é difícil encontrar: \begin{matrix} c= 5 &,& a = 2 &,& b = 0 \end{matrix} Logo, $h(3)$ será: \begin{matrix} h(3) = 9a + 3b + c &\Rightarrow& \fbox{$h(3) = 13$} \end{matrix} $-$ Portanto, verificamos $h(2) + h(3)$ como: \begin{matrix} h(2) + h(3) = 16 \\ \\ Letra \ (A) \end{matrix}
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