Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação $z^6= 1$. A área deste polígono, em unidades de área, é igual a:


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ITA IIIT 27/01/2022 21:47
A solução da equação $z^6 =1$ nos proporciona seis raízes, essas que por sua vez determinam um $\text{hexágono}$, e segundo enunciado, um hexágono regular. Dessa forma, com conhecimento das características de um hexágono regular, e notando que uma das raízes é igual a $1$, além de que, as raízes da unidade formam polígonos centrados na origem, temos que o raio é igual a $1$ e, por conseguinte, o lado $(L)$ do hexágono é igual a $1$ também. Assim, sabido que podemos dividir um hexágono em seis triângulos equiláteros, temos sua área dada por:\begin{matrix} A_H & = & 6 \cdot {\dfrac{L^2 \sqrt{3}}{4}} &\therefore& \fbox{$A_H = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}$} \end{matrix} $• \ \text{Solução Paralela:}$ Caso a ideia (explicação) anterior não tenha sido satisfatória, podemos aplicar as $\text{Leis de Moivre}$, determinar duas raízes, aplicar a $\text{distância entre dois pontos}$, e novamente, com conhecimento das propriedades do hexágono regular, achar a resposta. Vejamos: $\text{Leis de Moivre}$: \begin{matrix}\text{1º Lei} &:& z^n = |z|^n \ . \ cis{(n.\theta)} \\ \\ \text{2º Lei} &:& \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \ . \ cis{\frac{\theta}{n}} \end{matrix}Assim,\begin{matrix} \sqrt[6]{z^6} = \sqrt[6]{|z^6|} \ . \ cis{\frac{\theta}{6}} \\ \\ z = cis{\frac{\theta}{6}} = 1\\ \\ \ \dfrac{\theta}{6} = 2k\pi \\ \\ \theta_k = 60º \ . \ k \\ \\ \color{gray}{k=1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ ... \ , \ 6} \\ \\ \theta_1 = 60º \ \ , \ \ \theta_2 = 120º \end{matrix}Continuando,\begin{matrix} z_1 = cis \ {60º} &\Rightarrow& z_1 : \left(\dfrac{1}{2} \ , \ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ \\ z_2 = cis \ {120º} &\Rightarrow& z_1 : \left(-\dfrac{1}{2} \ , \ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \end{matrix}Calculando a distância entre os pontos $z_1$ e $z_2$\begin{matrix} \overline{z_1z_2} = L \\ \\ L^2 = \left[\dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{1}{2} \right)\right]^6 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \\ \\ \fbox{$L = 1$} \end{matrix}Analogamente, temos: \begin{matrix} \fbox{$A_H = \dfrac{3\cdot \sqrt{3}}{2}$} \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix}
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