Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação $z^6= 1$. A área deste polígono, em unidades de área, é igual a:


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ITA IIIT 27/01/2022 21:47
$-$ A solução da equação $z^6 =1$ nos proporciona seis raízes, essas que por sua vez determinam um $\text{hexágono}$, e segundo enunciado, um hexágono regular. Dessa forma, com conhecimento das características de um hexágono regular, e notando que uma das raízes é igual a $1$, além de que, as raízes da unidade formam polígonos centrados na origem, temos que o raio é igual a $1$ e, por conseguinte, o lado $(L)$ do hexágono é igual a $1$ também. Assim, sabido que podemos dividir um hexágono em seis triângulos equiláteros, temos sua área dada por: \begin{matrix} A_H & = & 6 \ . \ \large{\frac{L^2.\sqrt{3}}{4}} \end{matrix} \begin{matrix} \fbox{$A_H = \frac{3.\sqrt{3}}{2}$} \end{matrix} $• \ \text{Solução Paralela: Leis de Moivre}$ $-$ Caso a ideia (explicação) anterior não tenha sido satisfatória, podemos aplicar as $\text{Leis de Moivre}$, determinar duas raízes, aplicar a $\text{distância entre dois pontos}$, e novamente, com conhecimento das propriedades do hexágono regular, achar a resposta. Vejamos: • $\text{Leis de Moivre}$ \begin{matrix}\text{1º Lei} &:& z^n = |z|^n \ . \ cis{(n.\theta)} \\ \\ \text{2º Lei} &:& \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \ . \ cis{\frac{\theta}{n}} \end{matrix} Assim, \begin{matrix} \sqrt[6]{z^6} = \sqrt[6]{|z^6|} \ . \ cis{\frac{\theta}{6}} \\ \\ z = cis{\frac{\theta}{6}} = 1\\ \\ \ \frac{\theta}{6} = 2k\pi \\ \\ \theta_k = 60º \ . \ k \\ \\ \color{gray}{k=1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ ... \ , \ 6} \\ \\ \theta_1 = 60º \ \ , \ \ \theta_2 = 120º \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} z_1 = cis \ {60º} &\Rightarrow& z_1 : (\frac{1}{2} \ , \ \frac{\sqrt{3}}{2} ) \\ \\ z_2 = cis \ {120º} &\Rightarrow& z_1 : (-\frac{1}{2} \ , \ \frac{\sqrt{3}}{2} ) \end{matrix} • Calculando a distância entre os pontos $z_1$ e $z_2$ \begin{matrix} \overline{z_1z_2} = L \\ \\ L^2 = [\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})]^6 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} )^2 \\ \\ \fbox{$L = 1$} \end{matrix} • Analogamente, temos: \begin{matrix} \fbox{$A_H = \frac{3.\sqrt{3}}{2}$} \\ \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix}
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