Seja $z$ um número complexo satisfazendo $\text{Re}(z) > 0$ e $( z + i)^2+ |\bar{z} + i|^2= 6.$ Se $n$ é o menor natural para o qual $z^n$ é um número imaginário puro, então $n$ é igual a:


img
ITA IIIT 28/02/2022 21:51
$-$ Seja $z = (x \ , \ y)$, assim, temos: \begin{matrix} z+ i = (x \ , \ 1 + y) &\Rightarrow& (z+i)^2 = [x^2 - (1+y) \ , \ 2x(1+y)] \\ \\ \overline{z}+ i = (x \ , \ 1 - y) &\Rightarrow& |\overline{z}+ i|^2 = [x^2 + (1-y)^2 \ , \ 0] \end{matrix} Assim, segundo enunciado, \begin{matrix} (z+i)^2 +|\overline{z}+ i|^2 = [x^2 - 2y \ , \ 2x(1+y)] = (6,0) \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} x^2 - 2y = 6 &,& 2x(1+y) = 0 \\ \\ \fbox{$x = 1$} && \fbox{$y = -1$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Não esqueça que $Re(z) = x >0$ $-$ Pela $\text{Lei de Moivre}$, têm-se: \begin{matrix} z^n = |z|^n \ . \ [\cos{(n\varphi)} + i.\sin{(n\varphi)}] \end{matrix} Para termos um imaginário puro, $\cos{(n\varphi)} = 0$, o que implica: \begin{matrix} \fbox{$n\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi \ \ \ , \ \ \ k = 1,2,...,n$} \end{matrix} $-$ Perceba que podemos encontrar o argumento $(\varphi)$ de $z$ por: \begin{matrix} \tan{\varphi} &=& \large{\frac{y}{x}} &=& -1 &\Rightarrow& \fbox{$\varphi = \large{\frac{3\pi}{4}}$} \end{matrix} Portanto, \begin{matrix} n.{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} + k\pi &\Rightarrow& n = \frac{2 + 4k}{3} \ \ , \ \ \text{se} \ \ k = 1 &\Rightarrow& \fbox{$n=2$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000