Seja $z = (x \ , \ y)$, assim, temos: \begin{matrix} z+ i = (x \ , \ 1 + y) &\Rightarrow& (z+i)^2 = [x^2 - (1+y) \ , \ 2x(1+y)] \\ \\ \overline{z}+ i = (x \ , \ 1 - y) &\Rightarrow& |\overline{z}+ i|^2 = [x^2 + (1-y)^2 \ , \ 0] \end{matrix} Assim, segundo enunciado, \begin{matrix} (z+i)^2 +|\overline{z}+ i|^2 = [x^2 - 2y \ , \ 2x(1+y)] = (3,0) \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} x^2 - 2y = 3 &,& 2x(1+y) = 0 \\ \\ \fbox{$x = 1$} && \fbox{$y = -1$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Não esqueça que $Re(z) = x >0$ Pela $\text{Lei de Moivre}$, têm-se:\begin{matrix} z^n = |z|^n \cdot [\cos{(n\varphi)} + i\sin{(n\varphi)}] \end{matrix} Para termos um imaginário puro, $\cos{(n\varphi)} = 0$, o que implica: \begin{matrix} \fbox{$n\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \ \ \ , \ \ \ k = 1,2,...,n$} \end{matrix}Perceba que podemos encontrar o argumento $(\varphi)$ de $z$ por:\begin{matrix} \tan{\varphi} &=& {\dfrac{y}{x}} &=& -1 &\Rightarrow& \fbox{$\varphi = {\dfrac{3\pi}{4}}$} \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} n \cdot {\dfrac{3\pi}{4}} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi &\Rightarrow& n = \dfrac{2 + 4k}{3} \ \ , \ \ \text{se} \ \ k = 1 &\Rightarrow& \fbox{$n=2$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (B) \end{matrix}