Seja $z$ um número complexo satisfazendo $\text{Re}(z) > 0$ e $( z + i)^2+ |\bar{z} + i|^2= 6.$ Se $n$ é o menor natural para o qual $z^n$ é um número imaginário puro, então $n$ é igual a:
$-$ Seja $z = (x \ , \ y)$, assim, temos:
\begin{matrix} z+ i = (x \ , \ 1 + y) &\Rightarrow& (z+i)^2 = [x^2 - (1+y) \ , \ 2x(1+y)] \\ \\
\overline{z}+ i = (x \ , \ 1 - y) &\Rightarrow& |\overline{z}+ i|^2 = [x^2 + (1-y)^2 \ , \ 0]
\end{matrix}
Assim, segundo enunciado,
\begin{matrix} (z+i)^2 +|\overline{z}+ i|^2 = [x^2 - 2y \ , \ 2x(1+y)] = (6,0)
\end{matrix}
Continuando,
\begin{matrix} x^2 - 2y = 6 &,& 2x(1+y) = 0 \\ \\ \fbox{$x = 1$} && \fbox{$y = -1$}
\end{matrix}
$\color{orangered}{Obs:}$ Não esqueça que $Re(z) = x >0$
$-$ Pela $\text{Lei de Moivre}$, têm-se:
\begin{matrix} z^n = |z|^n \ . \ [\cos{(n\varphi)} + i.\sin{(n\varphi)}]
\end{matrix}
Para termos um imaginário puro, $\cos{(n\varphi)} = 0$, o que implica:
\begin{matrix} \fbox{$n\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi \ \ \ , \ \ \ k = 1,2,...,n$}
\end{matrix}
$-$ Perceba que podemos encontrar o argumento $(\varphi)$ de $z$ por:
\begin{matrix} \tan{\varphi} &=& \large{\frac{y}{x}} &=& -1 &\Rightarrow& \fbox{$\varphi = \large{\frac{3\pi}{4}}$}
\end{matrix}
Portanto,
\begin{matrix} n.{\frac{3\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} + k\pi &\Rightarrow& n = \frac{2 + 4k}{3} \ \ , \ \ \text{se} \ \ k = 1 &\Rightarrow& \fbox{$n=2$}
\end{matrix}
\begin{matrix} Letra \ (B)
\end{matrix}
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