Seja um número complexo satisfazendo e Se é o menor natural para o qual é um número imaginário puro, então é igual a:
Seja $z = (x \ , \ y)$, assim, temos:
\begin{matrix} z+ i = (x \ , \ 1 + y) &\Rightarrow& (z+i)^2 = [x^2 - (1+y) \ , \ 2x(1+y)] \\ \\
\overline{z}+ i = (x \ , \ 1 - y) &\Rightarrow& |\overline{z}+ i|^2 = [x^2 + (1-y)^2 \ , \ 0]
\end{matrix}
Assim, segundo enunciado,
\begin{matrix} (z+i)^2 +|\overline{z}+ i|^2 = [x^2 - 2y \ , \ 2x(1+y)] = (3,0)
\end{matrix}
Continuando,
\begin{matrix} x^2 - 2y = 3 &,& 2x(1+y) = 0 \\ \\ \fbox{$x = 1$} && \fbox{$y = -1$}
\end{matrix}
$\color{orangered}{Obs:}$ Não esqueça que $Re(z) = x >0$
Pela $\text{Lei de Moivre}$, têm-se:\begin{matrix} z^n = |z|^n \cdot [\cos{(n\varphi)} + i\sin{(n\varphi)}]
\end{matrix}
Para termos um imaginário puro, $\cos{(n\varphi)} = 0$, o que implica:
\begin{matrix} \fbox{$n\varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \ \ \ , \ \ \ k = 1,2,...,n$}
\end{matrix}Perceba que podemos encontrar o argumento $(\varphi)$ de $z$ por:\begin{matrix} \tan{\varphi} &=& {\dfrac{y}{x}} &=& -1 &\Rightarrow& \fbox{$\varphi = {\dfrac{3\pi}{4}}$}
\end{matrix}Portanto,\begin{matrix} n \cdot {\dfrac{3\pi}{4}} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi &\Rightarrow& n = \dfrac{2 + 4k}{3} \ \ , \ \ \text{se} \ \ k = 1 &\Rightarrow& \fbox{$n=2$}
\end{matrix}
\begin{matrix} Letra \ (B)
\end{matrix}