Sabendo que $4 + i\sqrt{2}$ e $\sqrt{5}$ são raízes do polinômio $2x^5- 22x^4+ 74x^3+ 2x^2- 420x + 540$, então a soma dos quadrados de todas as raízes reais é:


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ITA IIIT 28/02/2022 19:46
$-$ A priori, sabido que o conjugado da raiz complexa também é uma raiz, temos: \begin{matrix} x_1 = 4 +i\sqrt{2} &,& x_2 = 4 - i\sqrt{2} &,& x_3 = \sqrt{5} \end{matrix} $-$ Com conhecimento das $\text{Fórmulas de Viète}$, temos: \begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 11 &,& x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_5 = -270 \\ \\ x_4 + x_5 = 3 - \sqrt{5} && x_4 . x_5 = -3 \sqrt{5} \\ \\ \fbox{$x_4 = 3$} && \fbox{$x_5= -\sqrt{5}$} \end{matrix} $-$ Por fim, a soma dos quadrados de todas as raízes reais: \begin{matrix} \fbox{$x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 = 19$} \\ \\ Letra \ (B) \end{matrix}
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