Considere as afirmações:

  • I- $(\cos \theta + i \sin\theta )^{10} = \cos (10\theta ) + i\cdot\sin(10\theta )$, para todo $ \theta \in R$.

  • II- $\dfrac{(5i)}{(2 + i)} = 1 + 2i$

  • III- $(1 - i)^4= - 4$

  • IV- Se $z^2 =( z )^2$ então z é real ou imaginário puro.

  • V- O polinômio $x^4+ x^3- x - 1$ possui apenas raízes reais.

Podemos concluir:


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ITA IIIT 28/02/2022 16:31
$• \ \text{Afirmativa I:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Pela $\text{Lei de Moivre}$ não é difícil perceber que a afirmativa está correta, visto que: \begin{matrix} z^n &=& |z|^n . (\cos{\theta} + i\sin{\theta})^n &=& |z|^n .[\cos{(n\theta)} + i\sin{(n\theta)}] \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Repare o que acontece se $|z| = 1$ e $n=10$. $• \ \text{Afirmativa II:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} \Large{\frac{(5i)}{(2+i)} \ . \ \color{royalblue}{\frac{(2-i)}{(2-i)}}} &=& \Large{\frac{5 +10i}{4+1}} &=& 1+2i \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa III:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ Utilizando a forma geométrica, e denotando $z= 1-i$ \begin{matrix} z = (1,-1) &\Rightarrow& z^2 = (0,-2) &\Rightarrow& z^4 = (-4,0) = -4 +0i \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa IV:}$ $\color{royalblue}{\text{Verdadeira}}$ \begin{matrix} z =x+yi &\Rightarrow& (x+yi)^2 = (x-yi)^2 &\Rightarrow& 2xyi = - 2xyi &\Rightarrow& 4xyi = 0 \end{matrix} Assim, \begin{matrix} x = 0 &\text{ou}& y = 0 \end{matrix} $• \ \text{Afirmativa V:}$ $\color{orangered}{\text{Falsa}}$ \begin{matrix} x^4 + x^3 - (x+1) &=& x^3(x+1) - 1.(x+1) &=& (x^3 - 1).(x+1) = 0 \end{matrix} Dessa forma, de $(x^3 - 1)$ temos uma raiz real e duas não reais. \begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}
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