Sejam , , , números reais não nulos que estão nesta ordem em progressão aritmética. Sabendo que o sistema a seguir:é possível e indeterminado, podemos afirmar que a soma desta progressão aritmética é:
Da progressão aritmética, sabemos:\begin{matrix} a \ , \ b \ , \ c \ , \ d &\Rightarrow& a \ , \ (a+r) \ , \ (a+2r) \ , \ (a+3r) &\Rightarrow& S = 4a + 6r
\end{matrix}Reescrevendo o sistema:\begin{matrix}
\begin{cases} 2^{a+2}.x &+& 2^{a+2r}.y &=& \Large{\frac{2^{a+r+1}}{3}} \\ \\ 3^{a+3r}.x &+& 3^{a+r+2}.y &=& 3^4
\end{cases}
\end{matrix}Com conhecimento das $\text{Regras de Cramer}$, temos:\begin{matrix}
\begin{vmatrix} 2^{a+2} && 2^{a+2r} \\ 3^{a+3r} && 3^{a+r+2}
\end{vmatrix}
&=& 2^{a+2}. 3^{a+r+2} - 2^{a+2r}.3^{a+3r} &=& 0 & \text{(Condição de sistema Indeterminado)}
\end{matrix}Continuando, \begin{matrix} 2^{a+2}. 3^{a+r+2} = 2^{a+2r}.3^{a+3r} &\Rightarrow& a+2 = a+2r &,& a+r+2= a+3r &\Rightarrow& \fbox{$r = 1$}
\end{matrix}Vejamos como ficará nosso sistema agora: \begin{matrix}
\begin{cases} 2^{a+2}.x &+& 2^{a+2}.y &=& \Large{\frac{2^{a+2}}{3}} \\ \\ 3^{a+3}.x &+& 3^{a+3}.y &=& 3^4
\end{cases}
&\Rightarrow&
\begin{cases} x +y = 3^{-1} \\ \\ 3^{a+3}.(x+y) = 3^4
\end{cases}
&\Rightarrow& 3^{a+3 - 1} = 3^{4}
\end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \fbox{$a = 2$}
\end{matrix}Enfim, apenas precisamos substituir nossos resultados na nossa soma $(S)$, que definimos no começo da solução.\begin{matrix} S = 4a + 6r &\Rightarrow& \fbox{$S = 14$}
\end{matrix}
\begin{matrix} Letra \ (E)
\end{matrix}
