Sejam $a$, $b$, $c$, $d$ números reais não nulos que estão nesta ordem em progressão aritmética. Sabendo que o sistema a seguir:$$\begin{cases} 4.2^{a}.x + 2^{c}.y = \frac{2}{3}.2^{b} \\ 3^{d}.x + 9.3^{b}.y = 81 \end{cases}$$é possível e indeterminado, podemos afirmar que a soma desta progressão aritmética é:


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ITA IIIT 18/02/2022 19:42
$-$ Da progressão aritmética, sabemos: \begin{matrix} a \ , \ b \ , \ c \ , \ d &\Rightarrow& a \ , \ (a+r) \ , \ (a+2r) \ , \ (a+3r) &\Rightarrow& S = 4a + 6r \end{matrix} $-$ Reescrevendo o sistema: \begin{matrix} \begin{cases} 2^{a+2}.x &+& 2^{a+2r}.y &=& \Large{\frac{2^{a+r+1}}{3}} \\ \\ 3^{a+3r}.x &+& 3^{a+r+2}.y &=& 3^4 \end{cases} \end{matrix} $-$ Com conhecimento das $\text{Regras de Cramer}$, temos: \begin{matrix} \begin{vmatrix} 2^{a+2} && 2^{a+2r} \\ 3^{a+3r} && 3^{a+r+2} \end{vmatrix} &=& 2^{a+2}. 3^{a+r+2} - 2^{a+2r}.3^{a+3r} &=& 0 & \text{(Condição de sistema Indeterminado)} \end{matrix} Continuando, \begin{matrix} 2^{a+2}. 3^{a+r+2} = 2^{a+2r}.3^{a+3r} &\Rightarrow& a+2 = a+2r &,& a+r+2= a+3r &\Rightarrow& \fbox{$r = 1$} \end{matrix} $-$ Vejamos como ficará nosso sistema agora: \begin{matrix} \begin{cases} 2^{a+2}.x &+& 2^{a+2}.y &=& \Large{\frac{2^{a+2}}{3}} \\ \\ 3^{a+3}.x &+& 3^{a+3}.y &=& 3^4 \end{cases} &\Rightarrow& \begin{cases} x +y = 3^{-1} \\ \\ 3^{a+3}.(x+y) = 3^4 \end{cases} &\Rightarrow& 3^{a+3 - 1} = 3^{4} \end{matrix} Portanto, \begin{matrix} \fbox{$a = 2$} \end{matrix} $-$ Enfim, apenas precisamos substituir nossos resultados na nossa soma $(S)$, que definimos no começo da solução. \begin{matrix} S = 4a + 6r &\Rightarrow& \fbox{$S = 14$} \end{matrix} \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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