Seja $r$ a mediatriz do segmento de reta de extremos $M = (-4 , -6)$ e $N = (8 , -2)$. Seja $R$ o raio da circunferência com centro na origem e que tangencia a reta $r$. Então:


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ITA IIIT 22/01/2022 19:05
A reta $r$ mediatriz é perpendicular ao segmento de reta $\overline{MN}$ (denotemos de $s$ ), isso significa que: \begin{matrix} m_r.m_s = -1 \end{matrix} $• \ m_s$ \begin{matrix} m_s = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{(-6+2)}{(-4-8)} &\Rightarrow& \fbox{$m_s = \dfrac{1}{3}$} &\Rightarrow& \fbox{$m_r = -3$} \end{matrix}A reta $r$ passa pelo ponto médio $(O)$ da reta $s$, assim: \begin{matrix} {O_x = \dfrac{x_M + x_N}{2} = \dfrac{-4+8}{2}} &\Rightarrow& \fbox{$O_x = 2$} \\ \\ {O_y = \dfrac{y_M + y_N}{2} = \dfrac{-6-2}{2}} &\Rightarrow& \fbox{$O_y = -4$} \end{matrix} Dessa forma, \begin{matrix} \fbox{$O: (2 \ , -4)$} \end{matrix}Encontrando a equação da reta $r$ utilizando nosso ponto médio: \begin{matrix} m_r = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{(y-2)}{(x+4)} &\Rightarrow& \fbox{$3x + y -2 = 0$} \end{matrix}Calculando a distância entre o centro da circunferência e a reta $r$ \begin{matrix} { d = \dfrac{|a.x + b.y + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}} &\Rightarrow& { d = \dfrac{|3.0 + 1.0 - 2|}{\sqrt{3^2 + 1^2}}} &\Rightarrow& {\fbox{$d = \dfrac{\sqrt{10}}{5}$} } \end{matrix} \begin{matrix} \color{}{\fbox{$\text{O centro da circunferência está em (0,0)} $}} \\ \\ Letra \ (D) \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Você poderia encontrar a equação da reta esboçando a situação a partir do ponto médio, isto é, perceber que a distância do ponto $M$ e $N$ ao ponto de tangência são iguais (critério $\text{L.A.L}$), igualar, e prosseguir.
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