USP 1984 Matemática - Questões

Seja $r = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

1. a) Escreva $\sqrt{6}$ em função de $r$.
   

2. b) Admitindo $\sqrt{6}$ irracional, prove que $r$ também é irracional.
   

Considere a parábola de equação: $y=x^2+mx+4m$

1. a) Ache a intersecção da parábola com eixo $x$, quando $m=-2$
   

2. b) Determine o conjunto de valores de $m$ para os quais a parábola não corta o eixo $x$.
   

Resolva a inequação: $\dfrac{1}{3}- \dfrac{x}{2}< \dfrac{1}{4}$

Sendo $2y=2^x-2^{-x} \ (x,y\ \text{reais})$, expresse $x$ em função de $y$.

Sejam $x$ e $y$ números positivos tais que $x^3 y^{-5}=512$ e $x^5 y^{-3}=128$. Calcule $x$ e $\log_2\ y$.