USP 1982 Matemática - Questões

Dado um polígono convexo $P$ com $n$ lados, calcular o número de polígonos convexos cujos vértices são vértices de $P$.

Um banqueiro de jogo pretende fazer muitas extrações de loteria: a cada vez o banqueiro consegue vender $80.000$ dos $100.000$ bilhetes, ficando com os $20.000$ restantes não vendidos. O prêmio dado vendedor de cada extração, caso haja vencedor, é de R$ $1.000.000,00$. Calcular o preço do bilhete de forma que o lucro médio do banqueiro por extração seja de R$ $160.000,00$.

Resolver a equação $\log_2\ x + \log_2\ x^2 + \log_2\ x^3 + \dots + \log_2\ x^{100} = 15.150$

Em pontos distintos da margem de um lago existem um farol $F$ e um porto $P$. Um barco que parta de qualquer ponto do lago, e se dirija em linha reta ao porto, afasta-se constantemente do farol. Qual a distância máxima entre dois pontos do lago? Demonstre.

Seja $T$ a operação "traçar uma circunferência de centro e raio dados". Dados dois pontos distintos $A$ e $M$, mostrar que é possível, por sucessivas aplicações da operação $T$, determinar o ponto $B$ tal que $M$ seja ponto médio do segmento $AB$.