UERJ 2010 Matemática - Questões

Uma criança guarda moedas de R$ $1,00$ e de R$ $0,50$ em duas caixas, uma verde e outra amarela. Na caixa amarela, há, exatamente, 12 moedas de R$ $1,00$ e 15 moedas de R$ $0,50$.

Admita que, após a transferência de n moedas de R$ $1,00$ da caixa verde para a amarela, a probabilidade de se retirar ao acaso uma moeda de R$ $1,00$ da caixa amarela seja igual a 50%.

Calcule o valor de n.

Sejam a e b dois números reais positivos e A, G e H, respectivamente, as médias aritmética, geométrica e harmônica desses dois números. Admita que $a>b$ e que a sequência (A, G, H) seja uma progressão geométrica de razão $\dfrac{\sqrt{3} }{2}$. Determine $\dfrac{a}{b}$.

Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15 gols cada um. O número total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas, apenas cinco marcaram mais de 13 gols.

Calcule o número de atletas que fizeram 15 gols.

Suponha que x e y são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir: $$\log _{9} \ x=\log _{6} y=\log _{4} \left(x+y\right)$$ Calcule a razão $\dfrac{y}{x}$.

As seis soluções da equação $z^{6} +z^{3} +1=0$ são números complexos que possuem módulos iguais e argumentos distintos.

O argumento $\theta$, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo $\left(\dfrac{\pi }{2} , \ \pi \right)$.

Determine a medida de $\theta$.