PUC-SP 2009 Matemática - Questões

Sabe-se que, se não for consertada, uma única torneira de uma residência, pingando $1$ gota de água por segundo, desperdiça $16. 500$ litros por ano. Nessas condições, se em $360$ residências tal gasto fosse evitado por $5$ meses, a quantidade de água economizada

“De acordo com a análise de seis avançados modelos climáticos de computadores, combinada com observações da perda da camada de gelo nos verões de $2007$ e $2008$, o gelo marinho derreterá nas próximas décadas até fazer do Oceano Ártico um mar aberto.

Pesquisadores calculam que a área de gelo marinho cairá de $4,7$ milhões de quilômetros quadrados (registra no inverno de $2008$) para apenas $1$ milhão de quilômetros quadrados (registra no inverno de $2038$).”

Adaptado: Revista Planeta, Edição 441, ano37, p.30, jun/2009, São Paulo: Editora Três

Supondo que, no período considerado, a superfície de gelo marinho nessa região sofra um decréscimo linear, então o esperado é que no inverno de $2014$ a área de sua superfície, em milhões de quilômetros quadrados, seja igual a

Sejam as sequências $f = (r_n),\ n \in \mathbb{N}^*$, tal que $r_n = \dfrac{1}{2^{2n - 2}}$

e $g = (h_n),\ n \in \mathbb{N}$, tal que $h_n = \dfrac{\sqrt{2}}{2^{2n}}$.

Para todo $n \in \mathbb{N}^*$, seja $V_n$ o volume do cilindro em que $r_n$ e $h_n$ são, em centímetros, as respectivas medidas do raio da base e da altura. Nessas condições, considerando a sequência infinita de volumes $(V_1, V_2, V_3, \dots)$, a soma $V_1 + V_2 + V_3 + \dots$ em centímetros cúbicos, é igual a